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本科課程輔導
發(fā)布時間：2024-01-26 09:46
中心極限定理依賴于抽樣分布的概念，抽樣分布是從總體中抽取大量樣本后統(tǒng)計量的概率分布。中心極限定理表明，如果從一個總體中抽取足夠大的樣本，即使總體不是正態(tài)分布的，樣本的均值也將呈正態(tài)分布。
中心極限定理依賴于抽樣分布的概念，它是從總體中抽取的大量樣本的統(tǒng)計量的概率分布。通過想象一個實驗，你可以更好地理解抽樣分布：
假設你從一個總體中隨機抽取一個樣本并計算樣本的統(tǒng)計量，比如均值?，F(xiàn)在你再次隨機抽取相同大小的另一個樣本，并再次計算均值。你重復這個過程很多次，最終得到很多均值，每個樣本對應一個均值。樣本均值的分布是抽樣分布的一個例子。
中心極限定理說，只要樣本大小足夠大，均值的抽樣分布將始終呈正態(tài)分布。無論總體是正態(tài)分布、泊松分布、二項分布還是其他任何分布，均值的抽樣分布都將是正態(tài)的。
正態(tài)分布是一種對稱的鐘形分布，離分布中心越遠的觀測值越少。
幸運的是，你不需要實際反復抽樣總體來了解抽樣分布的形狀。抽樣分布的均值和標準差由總體的參數(shù)決定：
抽樣分布的均值等于總體的均值。
抽樣分布的標準差等于總體的標準差除以樣本大小的平方根。
我們可以用以下公式來描述均值的抽樣分布：
其中：
X? 是樣本均值的抽樣分布 ~ 表示“遵循分布” ，N 是正態(tài)分布， µ 是總體的均值， σ 是總體的標準差， n 是樣本大小。
樣本大小(n)是從總體中抽取的每個樣本的觀察數(shù)量。樣本大小對所有樣本都是相同的。樣本大小以兩種方式影響均值的抽樣分布。
(1)樣本大小和正態(tài)性樣本
大小越大，抽樣分布越接近正態(tài)分布。當樣本大小較小時，均值的抽樣分布有時是非正態(tài)的。這是因為只有在樣本大小足夠大時，中心極限定理才成立。
按照慣例，我們認為樣本大小為30時足夠大。
當n < 30時，中心極限定理不適用。抽樣分布將與總體的分布類似。因此，只有在總體正態(tài)時，抽樣分布才是正態(tài)的。
當n ≥ 30時，中心極限定理適用。抽樣分布將近似于正態(tài)分布。
(2)樣本大小和標準差
樣本大小影響抽樣分布的標準差。標準差是分布的變異性或擴散程度的度量(即它有多寬或多窄)。
當n較小時，標準差較大。樣本均值的擴散很大，因為它們不是總體均值的精確估計。
當n較大時，標準差較小。樣本均值的擴散很小，因為它們是總體均值的精確估計。
中心極限定理表明，在以下條件下，均值的抽樣分布將始終遵循正態(tài)分布：
樣本大小足夠大。通常，如果樣本大小為n ≥ 30，則滿足此條件。
樣本是獨立且相同分布的隨機變量。通常，如果抽樣是隨機的，則滿足此條件。
總體的分布具有有限方差。中心極限定理不適用于具有無限方差的分布，如柯西分布。大多數(shù)分布具有有限方差。
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