曼徹斯特大學(xué)精算學(xué)和數(shù)學(xué)課程輔導(dǎo)|馬爾可夫鏈理論

馬爾科夫鏈是安德烈-馬爾科夫創(chuàng)建的一種隨機模型，它將一連串事件發(fā)生的概率描述為前一事件狀態(tài)的函數(shù)。該模型應(yīng)用廣泛，簡單易懂，常用于處理連續(xù)數(shù)據(jù)的行業(yè)，如金融業(yè)。就連谷歌的網(wǎng)頁排名算法也是一種馬爾科夫鏈，它決定了哪些鏈接會首先顯示在搜索引擎中。通過數(shù)學(xué)計算，該模型利用我們的觀察結(jié)果對未來事件進(jìn)行粗略預(yù)測。

馬爾可夫過程的主要目的是確定從一種狀態(tài)進(jìn)入另一種狀態(tài)的概率。馬爾可夫過程的主要優(yōu)點之一是，隨機變量的未來狀態(tài)只取決于當(dāng)前狀態(tài)。隨機變量的非正式定義是其值取決于隨機事件結(jié)果的變量。

一、馬可夫鏈的主要特征是什么?

如前所述，馬爾可夫過程是一種無記憶的隨機過程。術(shù)語 "無記憶 "是數(shù)學(xué)中概率分布的一種屬性。它通常指的是與特定事件發(fā)生相關(guān)的時間不依賴于所經(jīng)過的時間的情況。換句話說，如果一個模型具有記憶屬性，就意味著該模型 "忘記 "了系統(tǒng)所處的狀態(tài)。因此，過程的先前狀態(tài)不會影響概率。

這種記憶特性是馬爾可夫過程最重要的特征。與馬爾可夫過程相關(guān)的預(yù)測取決于當(dāng)前狀態(tài)，與之前和未來狀態(tài)無關(guān)。

在應(yīng)用馬爾可夫模型時，這種記憶特性是福也是禍。讓我們設(shè)想這樣一種場景：我們希望根據(jù)之前輸入的文本預(yù)測單詞或句子，這與谷歌在 Gmail 中的做法類似。使用馬爾可夫過程的好處是，生成的新預(yù)測結(jié)果并不取決于你之前所寫的段落。但缺點是，它不會根據(jù)模型之前狀態(tài)的上下文來預(yù)測文本。這是自然語言處理(NLP)中的一個常見問題，許多模型都面臨這個問題。

二、如何創(chuàng)建馬爾科夫鏈模型

馬爾科夫鏈模型取決于兩個關(guān)鍵信息：轉(zhuǎn)換矩陣和初始狀態(tài)向量。

1.轉(zhuǎn)移矩陣

這個 NxN 矩陣用 "P "表示，代表狀態(tài)間轉(zhuǎn)換的概率分布。矩陣每一行的概率之和等于 1，這意味著它是一個隨機矩陣。請注意，連通的有向圖可以轉(zhuǎn)化為過渡矩陣。矩陣的每個元素都代表與連接兩個節(jié)點的邊相關(guān)的概率權(quán)重。

2.初始狀態(tài)向量

這個 Nx1 向量稱為 "S"，表示從 N 個可能狀態(tài)中的每個狀態(tài)開始的概率分布。該向量的每個元素都代表從該狀態(tài)開始的概率。

三、馬爾科夫鏈的例子是什么?

馬爾科夫鏈在數(shù)據(jù)科學(xué)中的一個常見應(yīng)用是文本預(yù)測。這是 NLP 的一個領(lǐng)域，被谷歌、LinkedIn 和 Instagram 等公司廣泛應(yīng)用于技術(shù)領(lǐng)域。當(dāng)你撰寫電子郵件時，谷歌會預(yù)測并建議自動完成的單詞或短語。當(dāng)你在 Instagram 或 LinkedIn 上收到信息時，這些應(yīng)用程序會建議可能的答案。我們要探討的正是馬爾科夫鏈的這些應(yīng)用。盡管如此，這些大公司在生產(chǎn)中用于這些功能的模型類型卻更為復(fù)雜。

假設(shè)我們有大量與主題相關(guān)的文本。在這個文本語料庫中，每個句子都可以看作是一個詞序列。因此，每個單詞都是自己的狀態(tài)，而從一個狀態(tài)過渡到另一個狀態(tài)的概率則與其相關(guān)聯(lián)的單詞有關(guān)。這樣就可以根據(jù)與過渡矩陣相關(guān)的概率從一個狀態(tài)過渡到另一個狀態(tài)。

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