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發(fā)布時(shí)間：2022-12-27 13:45
線性代數(shù)，處理向量和矩陣的數(shù)學(xué)學(xué)科，更廣泛地說(shuō)，處理向量空間和線性變換的數(shù)學(xué)學(xué)科。與數(shù)學(xué)的其他部分經(jīng)常被新思想和未解決的問(wèn)題所振奮不同，線性代數(shù)是非常好理解的。它的價(jià)值在于它的許多應(yīng)用，從數(shù)學(xué)物理學(xué)到現(xiàn)代代數(shù)和編碼理論。
一、向量和向量空間
線性代數(shù)通常從研究矢量開始，矢量被理解為既有大小又有方向的量。矢量很容易被用于物理應(yīng)用。例如，考慮一個(gè)可以在任何方向自由移動(dòng)的固體物體。當(dāng)兩個(gè)力同時(shí)作用在這個(gè)物體上時(shí)，它們產(chǎn)生的綜合效應(yīng)與一個(gè)力是一樣的。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，將兩個(gè)力v和w表示為箭頭;每個(gè)箭頭的方向表示力的方向，其長(zhǎng)度表示力的大小。
二、線性變換和矩陣
矢量空間是線性代數(shù)的兩個(gè)主要成分之一，另一個(gè)是線性變換(或物理學(xué)家口中的 "算子")。線性變換是將一個(gè)矢量發(fā)送到或 "映射 "到另一個(gè)矢量的函數(shù)。最簡(jiǎn)單的線性變換的例子是將每個(gè)向量發(fā)送到c乘以自身，其中c是某個(gè)常數(shù)。因此，每個(gè)向量都保持相同的方向，但所有長(zhǎng)度都乘以c。另一個(gè)例子是旋轉(zhuǎn)，它使所有長(zhǎng)度保持不變，但改變了向量的方向。線性指的是變換保留了矢量加法和標(biāo)量乘法的事實(shí)。這意味著，如果T是一個(gè)將向量v發(fā)送到T(v)的線性變換，那么對(duì)于任何向量v和w，以及任何標(biāo)量c，該變換必須滿足T(v+w)=T(v)+T(w)和T(cv)=cT(v)的特性。
三、特征向量
在研究線性變換時(shí)，找到方向不被變換影響的非零向量是非常有用的。這些被稱為特征向量(也被稱為特性向量)。如果v是線性變換T的一個(gè)特征向量，那么T(v)=λv，對(duì)于某個(gè)標(biāo)量λ，這個(gè)標(biāo)量被稱為特征值。最大絕對(duì)值的特征值，連同其相關(guān)的特征向量，對(duì)許多物理應(yīng)用具有特殊意義。這是因?yàn)椋瑹o(wú)論線性變換所代表的是什么過(guò)程，往往都是重復(fù)作用--將上一個(gè)變換的輸出反饋到另一個(gè)變換中--這導(dǎo)致每個(gè)任意(非零)矢量都收斂在與最大特征值相關(guān)的特征向量上，盡管是按特征值的冪數(shù)重新調(diào)整。換句話說(shuō)，系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為是由其特征向量決定的。
以上就是關(guān)于哥倫比亞大學(xué)線性代數(shù)課程輔導(dǎo)的講解，大家在留學(xué)期間有任何留學(xué)需求可以添加留學(xué)生輔導(dǎo)網(wǎng)老師的微信：hmkt131
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